The set of all normal operators on a Hilbert space is naturally acted on both by the group of unitary operators and by the groupoid of partial isometries. We show that the norm closures of these group orbits are related to the above groupoid orbits, and this relation allows one to study the differentiable structures of these orbit closures. Some of the earlier results on closed unitary orbits are recovered in the natural degree of generality in our framework. This presentation is based on joint work with Gabriel Larotonda.

La charla se basa en un trabajo en colaboración con Maximiliano Contino, Michael Dritschel y Stefania Marcantognini sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert separable que pueden escribirse como el producto de dos operadores lineales, acotados y positivos. En espacios de dimensión finita, es fácil ver que un operador es el producto de dos operadores positivos si y sólo si es similar a un operador positivo, es decir si y sólo si es un operador escalar con espectro positivo. La estructura de este conjunto en espacios de dimensión infinita es mucho más rica y compleja. La factorization de un elemento del conjunto no es única pero existen factorizaciones distinguidas. La pertenencia a este conjunto se vincula con la cuasi-similaridad y cuasi afinidad a un operador positivo aunque no es equivalente. Estudiamos también las propiedades espectrales de los elementos del conjunto y describimos varios ejemplos.

• If \(n=1\), \(g\) is flat.
• If \(n=2\), \(g\) is Einstein if, and only if, \(g\) has constant scalar curvature. Generically, the scalar curvature is negative.
• If \(n\geq 3\), then \(g\) has constant scalar curvature if, and only if, \(g\) is a critical point of the scale invariant normalized total scalar curvature (or Yamabe functional) in its conformal class. A metric of constant nonpositive scalar curvature is a Yamabe metric in its conformal class, while if \(g\) has positive scalar curvature and \((M,g)\) admits an isometric minimal embedding into the standard sphere, then \(g\) is Yamabe in its conformal class. Over the space of metrics of fixed volume, a metric \(g\) is Einstein if, and only if, it is critical point of the total scalar curvature, while a metric is scalar flat or Einstein if, and only if, it is a critical point of the squared \(L^2\) norm of the scalar curvature functional.

Sea \(\mathcal{M}_d(\mathbb{C})\) el espacio de matrices (cuadradas) de dimensión \(d\) y \(\mathcal{X}\subset \mathcal{M}_d(\mathbb{C})\). Consideremos una matriz \(A\in\mathcal{M}_d(\mathbb{C})\) (fija) y una métrica en \(\mathcal{M}_d(\mathbb{C})\) dada por una distancia \(\rm {\textbf d}\).

Un típico problema de aproximación de matrices (o de tipo Procusto) es estudiar la distancia mínima $$\rm {\textbf d}(A,\mathcal{X}):= \inf\{ \rm {\textbf d}(A,C):\,C \in \mathcal{X}\}\,,$$ y en caso de que se alcance, estudiar el conjunto de mejores aproximantes de \(A\) en \(\mathcal{X}\) $$\mathcal{A}^{\rm op}(A,\mathcal{X}) =\{C\in\mathcal{X}:\,\rm {\textbf d}(A,C)= \rm {\textbf d}(A,\mathcal{X})\}\,.$$ Algunas de las elecciones clásicas de \(\mathcal{X}\subset \mathcal{M}_d(\mathbb{C})\) son las matrices autoadjuntas, las semidefinidas positivas, los proyectores ortogonales, etc, y la métrica suele ser la inducida por la norma Frobenius, pero también podría provenir de cualquier otra norma, por ejemplo, de alguna que sea unitariamente invariante (nui).

El problema del que nos ocuparemos en esta charla es el siguiente: dada \(N\) una nui (estrictamente convexa) en \(\mathcal{M}_d(\mathbb{C})\) definimos en el cono de matrices positivas \(\mathcal{P}_d(\mathbb{C})\) la distancia $$ {\bf{d}}_N(A,B):=N(\log(A^{-1/2} B A^{-1/2})) \quad \text{para } A,B\in\mathcal{P}_d(\mathbb{C}). $$ Entonces, si fijamos \(A,B\in \mathcal{P}_d(\mathbb{C})\) podemos considerar $$\mathcal{X}=\mathcal{O}_B= \{ UBU^* : \, U\quad\text{es unitaria}\}\,.$$ Luego, el problema de Procusto asociado es el de estudiar la distancia $$ \displaystyle{\bf{d}}_N(A,\mathcal{O}_B) =\inf_{C\in\mathcal{O}_B} {\bf{d}}_N(A,C)$$ y (en caso de ser posible) los mejores aproximantes de \(A\) en \(\mathcal{O}_B\). En 2019, Bhatia y Congedo probaron que esa distancia se alcanza en matrices de \(\mathcal{O}_B\) que conmutan con \(A\) Como \(\mathcal{O}_B\) es un espacio métrico con la métrica inducida por la norma usual de operadores, lo que proponemos en esta charla es estudiar los minimizadores globales la función \(F_{(N,A,B)}= F_N:\mathcal{O}_B \to \mathbb{R}_{>0}\) dada por $$F_N(C)=N (\log (A^{-1/2}CA^{-1/2}))$$ para \(C\in \mathcal{O}_B\) En particular, vamos a dar una caracterización espectral de los minimizadores locales de \(F_N\) en \(\mathcal{O}_B\) (cuando \(N\) es una nui estrictamente convexa) utilizando técnicas geométricas aplicadas al caso de igualdad en la desigualdad de Lidskii (multiplicativa) y probaremos que los minimizadores locales son globales, independientemente de la nui estrictamente convexa elegida. La charla está basada en un trabajo en co-autoría con Pablo Calderón y Mariano Ruiz.

El cuarto problema de Hilbert pide construir y estudiar las distancias continuas (aunque no necesariamente simétricas) en abiertos convexos de espacios proyectivos para las cuales las rectas son lineas geodésicas. En dimensión dos, y para distancias simétricas, la solución de Busemann y Pogorelov es de una maravillosa simplicidad. Sin embargo, en dimensiones mayores a dos y para distancias no simétricas podemos seguir considerando el problema como abierto. Después de una breve reseña de la solución bidimensional de Busemann y Pogorelov y de varios resultados parciales en dimensión superior, la charla se centrará en la formulación de problemas relacionados a la transformada de Fourier y a otras transformadas integrales que llevarían a una solución o a un mejor entendimiento del problema de Hilbert.

The theory of \(\lambda\) Rings goes back to the work of Grothendieck on Chern classes in algebraic topology, it is a suitable axiomatization of the algebraic properties of exterior powers operations on vector bundles; \(\lambda\) rings were also used by Atiyah and coworkers in the study of representations of groups and \(K\) Theory. During this talk we will present recent results on the \(\lambda\) ring structure in algebras of pseudo-differential operators and their use in index theory.

Consideremos una sucesión finita de números reales positivos \(\alpha=(\alpha_i)_{i=1}^n\) y una sucesión de números enteros positivos \(\mathbf d=(d_j)_{j=1}^m\), ambas ordenadas en forma no-creciente.

Un \((\alpha,\mathbf d)-\) diseño es una familia \(\Phi=(\mathcal F_j)_{j=1}^m\) tal que: \(\mathcal F_j=\{f_{ij}\}_{i=1}^n \in (\mathbb C^{d_j})^n\) de forma que se verifican las restricciones $$\sum_{j=1}^m\|f_{ij}\|^2=\alpha_i\,,\ i=1,\ldots,n.$$ Denotaremos con \(\mathcal D(\alpha,\mathbf d)\) al conjunto de todos los \((\alpha,\mathbf d)-\) diseños.

Sea \(\Phi^0 =(\mathcal F^0_j)_{j=1}^m\) tal que \(\mathcal F^0_j=\{f^0_{ij}\}_{i=1}^k\in (\mathbb C^{d_j})^k\) con \(j=1,\ldots,m\). Una \((\alpha,\mathbf d)-\){ \it multicompletación} de\(\Phi^0\) es $$(\Phi^0,\Phi)=(\mathcal F^0_j,\mathcal F_j)_{j=1}^m \,\text{ con }\, \Phi\in \mathcal D(\alpha,\mathbf d)\,,$$ donde \((\mathcal F^0_j, \mathcal F_j)\in (\mathbb C^{d_j})^{k+n}\), para \(j=1, \ldots, m\). Dadas \((\Phi^0,\Phi)\) una \((\alpha,\mathbf d)-\) multicompletación y una función \(\varphi:\mathbb R_{\geq 0}\to \mathbb R_{\geq 0}\) estrictamente convexa, consideramos el potencial conjunto inducido por \(\varphi\), dado por: $$\Psi_{\varphi}(\Phi)= \rm P_{\varphi}(\Phi^0,\Phi)=\sum_{j=1}^m \text{tr}(\varphi[S_{(\mathcal F^0_j , \mathcal F_j)}]),$$ donde \(S_{(\mathcal F^0_j, \mathcal F_j)}=S_{\mathcal F^0_j}+S_{ \mathcal F_j}\) denota el operador de marco de \((\mathcal F^0_j, \mathcal F_j)\in (\mathbb C^{d_j})^{k+n}\), para \(j=1, \ldots, m\). Es bien sabido que los mínimos de potenciales convexos (bajo restricciones en las normas de los vectores) dan lugar a sistemas de reconstrucción más estables: cuanto menor es el potencial, más estable es el sistema.

En esta charla consideraremos el problema de la existencia de \((\alpha,\mathbf d)-\) multicompletaciones \((\Phi^0,\Phi^{\text{op}})\) óptimas dentro de la clase de todas las \((\alpha,\mathbf d)-\) multicompletaciones, es decir, tales que $$\rm P_{\varphi}(\Phi^0,\Phi^{\text{op}})\leq \rm P_{\varphi}(\Phi^0,\Phi),$$ para toda \((\alpha,\mathbf d)-\) multicompletación \((\Phi^0,\Phi)\) y para toda \(\varphi\).

Si \(m=1\) y \(\mathcal F_1^0\) es una sucesión inicial fija, entonces el problema anterior se reduce a hallar las completaciones óptimas de \(\mathcal F_1^0\) con normas predeterminadas por \(\alpha\) (este caso fue probado por P. Massey, N. Ríos y D. Stojanoff en 2018), que a su vez contiene el problema de diseño óptimo con normas predeterminadas i.e. \(\mathcal F_1^0=\{0\}\) (probado por M.B; P. Massey, M. Ruiz y D. Stojanoff en 2020). La charla está basada en un trabajo en co-autoría con P. Massey, M. Ruiz y D. Stojanoff.

We study an operator that assigns to each function \(u:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}\) a mapping \(G_u:\mathbb{R}^d \to C_*(\mathbb{R}^d)\), $$G_u(x)(h) := u(x+h)-u(x)\;\forall h \in \mathbb{R}^d.$$

This map \(G_u(x)\) has some similarities with the gradient map \(\nabla u(x)\), which is a central object of study in the theory of the Monge-Ampère equation and Jacobian equations in general. The image of the map \(G_u\) will be, in general, a \(d\)-dimensional submanifold inside the Banach space \(C_*(\mathbb{R}^d)\) (the space of continuous, bounded functions which vanish at the origin). Our goal is to find a relation, at least for some broad class of functions \(u\), between the oscillation of the function \(u\) in a compact domain \(D\) and the \(d\)-dimensional measure of the set \(G_u(D)\). Such a relation would be analogous to Aleksandrov's estimate for convex functions, a fundamental estimate in the theory of elliptic equations which can be traced back to the reverse Blaschke-Santaló inequality. The validity of an integro-differential version of this estimate would have significant implications for the study of nonlinear integro-differential equations. In this talk I will review this background and discuss some preliminary results about the map \(G_u\). This is work in progress.