A recent approach for studying collections of multilinear operators, based on the geometry of tensor products, allows to generalize collections of linear operators to the multilinear setting. Besides defining new collections, this approach allows to characterize them in terms of summing properties, factorizations and duality relations with tensor products. The defined collections to this day include compact, summing, dominated and even factorable operators. These collections of multilinear operators enjoy an ideal behavior, that is, they are closed under compositions that preserves the geometry of the multilinear domain. This ideal property, together with the geometry of tensor products, has inspired the study of the so called \(\Sigma\)-ideals.

This talk is dedicated to present the foundations of \(\Sigma\)-ideals and their classification in terms of tensor norms. Moreover we will explore the \(\Sigma\)-ideal of \((p,q)\)-dominated multilinear operators and its classification in terms of tensor spaces as well as the factorization through \(L_p\) spaces that they admit.

Given a real reflexive Banach space \(X\), an onto isomorphism \(\alpha: X \to X^*\) is said to be \emph{symplectic} if \(\alpha^*= - \alpha\) with the canonical identification. We study some properties of strictly singular perturbations of symplectic isomorphism in the direction of the relations obtained by V. Ferenczi and E. Galego (2007) on complex structures of a Banach and its hyperplanes with the elements of square -1 of the algebra \(\mathcal L(X)/S(X)\) quotient of the algebra \(\mathcal L(X)\) of linear and continuous operators on \(X\) by the ideal of strictly singular operators.

Los espacios de sucesiones de Marcinkiewicz \(m_{\Psi}^0\) y sus duales \((m_\Psi^0)'\) y \(m_\Psi\), son espacios invariantes por reordernamientos, determinados por un símbolo \(\Psi\) (una sucesión no decreciente de números reales positivos). Para símbolos apropiados \(\Psi\), estos espacios devienen en espacios de Lorentz (sus preduales y duales) \(d_*(w,1), d(w,1)\) y \(d^*(w,1)\).

El objetivo de esta charla es entender, para un símbolo general \(\Psi\), la geometría de la bola unidad de \(m_{\Psi}^0,(m_\Psi^0)'\) y \(m_\Psi\) a partir de la caracterización de sus puntos extremales (reales y complejos) y de sus puntos expuestos.

Veremosque los puntos extremales complejos de la bola unidad de \(m_\Psi^0\) están determinados por la geometría de los subespacios finito-dimensionales \(m_\Psi^n\). Mientras que la geometría de la bola unidad de \(m_\Psi\) depende fuertemente del comportamiento asintótico de los valores de \(\Psi\). También caracterizaremos los puntos extremales y expuestos de la bola unidad de \((m^0_\Psi)'\). Como consecuencia, extendemos resultados de Kamińska, Lee y Lewicki (2009) y de Ciesielski y Lewicki (2019). Trabajo en conjunto con Chris Boyd (UCD).

La teoría no lineal de espacios de Banach ha sido un área muy activa en las últimas décadas, pero su contraparte no conmutativa (es decir, la teoría no lineal de espacios de operadores) apenas está siendo explorada.

En un trabajo previo con Bruno M. Braga hemos mostrado que la noción más obvia de transformación Lipschitz entre espacios de operadores desafortunadamente da lugar a una teoría trivial, en el sentido de que las únicas transformaciones que satisfacen la definición son lineales. En este trabajo, conjunto con Bruno M. Braga y Thomas Sinclair, introducimos una noción más sutil de encaje Lipschitz entre espacios de operadores: estrictamente más débil que la noción lineal, pero suficientemente rígida para imponer restricciones en la estructura lineal de los espacios de operadores. Con este propósito introducimos una noción de espacios libres Lipschitz para espacios de operadores, y probamos algunas de sus propiedades al estilo del trabajo clásico de G. Godefroy y N. Kalton.

Consideremos un polinomio \(k\)-homogéneo \(P:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R\). ¿Cuál es la probabilidad de que \(P\) alcance un máximo relativo en algún vértice de la bola-1 (i.e., la bola unidad de la norma \(\Vert \cdot \Vert_1\))? ¿Y en un v\'ertice de la bola-\(\infty\)? Se sabe que si \(k \gt 2\) la probabilidad de alcanzar un máximo relativo en algún vértice de la bola-1 tiende a uno a medida que la dimensión \(n\) crece. Esto es falso para \(k=2\), y es un problema abierto para la bola-\(\infty\).

En esta charla veremos algunas de las herramientas utilizadas para encarar estas cuestiones, y algunas de las dificultades que se presentan.

Veremos también un resultado reciente, obtenido en conjunto con Damián Pinasco y Ezequiel Smucler, para polinomios sobre un simple: si \(k>4\), la probabilidad de que un polinomio \(k\)-homogéneo alcance un máximo relativo en algún vértice del simple \(n\)-dimensional tiende a uno al crecer la dimensión \(n\). Esto requiere un aporte a un viejo problema estadístico: el de las probabilidades ortantes.

In this talk we will present some results concerning algebraic and topological structure inside the following sets of special functions: the set \(\mathcal{F}\) of all Bloch functions defined on the open unit disk that are unbounded, and the set \(\mathcal{W}^p\) of all Bergman functions defined on the open unit disk that are not Bloch functions. We show that \(\mathcal{F}\) and \(\mathcal{W}^p\) are spaceable and residual, that is, \(\mathcal{F}\cup\{0\}\) (and \(\mathcal{W}^p\cup\{0\}\)) contains a closed infinite dimensional vector space. Residuality of the set \(\mathcal{F}\) (and \(\mathcal{W}^p\)) means that their complements are of first category. We also investigate the set of all holomorphic functions of bounded type defined on a Banach algebra \(E\) into \(E\), which are not Lorch-analytic. We show that this set is spaceable but not residual.

Joint work with M. Lilian Lourenço, IME-USP, São Paulo, Brazil.

Un resultado elemental en la teoría de espacios normados asegura que todo espacio de dimensión finita está complementado en cualquier superespacio que lo contenga. Luego, resulta natural querer cuantificar la norma de una determinada proyección sobre un espacio dado.

Una cantidad clásica relacionada con este propósito es la denominada \emph{constante de proyección} del espacio \( X \), definida como la mejor constante \(c>0\) que asegura para \emph{cualquier} superespacio \( Y \supset X\), la existencia de una proyección de \( Y \) sobre \( X \) de norma menor o igual a \( c \).

En esta charla discutiremos la constante de proyección de \(\mathcal P_m(X_n)\) (el espacio de polinomios \(m\)-homogéneos sobre un espacio \(n\)-dimensional \(X_n\)) y la conexión existente con algunos invariantes geométricos relativos a \(X_n\). Nos focalizamos en la dependencia respecto de ambos parámetros \(m\) y \(n\), i.e., el grado de homogeneidad y la dimensión del espacio, respectivamente. También trataremos la constante de proyección para otras clases de polinomios (e.g., polinomios de Dirichlet, polinomios sobre el cubo Booleano, trigonométricos analíticos, polinomios de grado menor o igual a \(m\) y tetraedrales homogéneos, entre otros). Mencionaremos cómo la constante de proyección de espacios de polinomios se conecta con el estudio de incondicionalidad en espacios de polinomios y el radio de Bohr.

Trabajo en conjunto con A. Defant, M. Mansilla, M. Mastyło y S. Muro.

In this talk we will explore the following notions of chaos for operators on non-metrizable topological vector spaces: mixing, hypercyclicity, cyclicity, \(n\)-supercyclicity, Li-Yorke chaos and Devaney chaos. We will discuss the main differences between these notions for operators on Fr\'echet and on non-metrizable topological vector spaces.

To illustrate some of these differences, we will explore results about the linear dynamics of convolution operators on spaces of entire functions of finitely and infinitely many complex variables. A classical result due to Godefroy and Shapiro states that every nontrivial convolution operator on the Fréchet space \(\mathcal{H}(\mathbb{C}^n)\) of all entire functions of \(n\) complex variables is hypercyclic. In sharp contrast to this result, in a joint work with J. Mujica it was showed that no translation operator on the space \(\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})\) (which is a complete non-metrizable locally convex space) of entire functions of infinitely many complex variables is hypercyclic. Recently, in a joint work with B. Caraballo it was showed that no convolution operator on \(\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})\) is cyclic or \(n\)-supercyclic for any positive integer \(n\). In the opposite direction, it was proved that every nontrivial convolution operator on \(\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})\) is mixing. Exploring the concept of Li-Yorke chaos on non-metrizable topological vector spaces, it was also proved that nontrivial convolution operators on \(\mathcal{H}(\mathbb{C}^\mathbb{N})\) are Li-Yorke chaotic.

In this talk I will discuss a couple of problems about the Banach algebra \(H^{\infty}(B)\) of bounded holomorphic functions on the ball \(B\) of a Banach space \(X\). First I will talk about the Corona problem, which asks if the evaluations on each point of \(B\) of functions in \(H^{\infty}(B)\) is a dense subset of \(M_{H^{\infty}(B)}\), the nonzero algebra homomorphisms from \(H^{\infty}(B)\) into \(\mathbb{C}\). An easier problem deals with a comparison of the limit behavior of functions in \(H^{\infty}(B)\) towards each point \(x^{**}\) of the closed ball \(\overline{B}^{**}\) of \(X^{**}\) with the elements of \(M_{H^{\infty}(B)}\) that in a sense correspond to \(x^{**}\). I will discuss why the last problem, the cluster value problem, is indeed easier than the Corona problem, and I will talk about some of the essential ideas behind the cluster value theorems known up to now.

En esta charla presentamos el inicio de una teoría sistemática de normas tensoriales en operator spaces y su interacción con ideales de operadores lineales asociados. Basados en la teoría de productos tensoriales en espacios de Banach, proponemos las definiciones naturales correspondientes a este nuevo ámbito y obtenemos algunos resultados análogos. Sin embargo, hay también notables discrepancias con la teoría clásica que requieren nuevos conocimientos, técnicas, ideas o hipótesis. En particular, mostramos varias diferencias sustanciales y muchas preguntas abiertas en la lista de las denominadas normas naturales (en el sentido de Grothendieck).

Trabajo en colaboración con Alejandro Chávez-Domínguez y Daniel Galicer.